怎么求3X3矩阵的行列式你就会觉得并不是矩阵那么难-兰熏桂馥网

假设你有一个3×3的矩阵矩阵：

{ \begin{ pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{ pmatrix}}

3学习三角矩阵的快捷方法。从左上角的列式a₁₁到右下角的a₃₃。
在本例中，矩阵你就得到了3x3矩阵的列式行列式。你就会觉得并不是矩阵那么难。我们将给出一些关于如何选择最简单的列式计算方法的建议。
方法1方法1 的矩阵 2:求行列式
1写出3×3矩阵。
记住，列式如果将这种方法用于4x4矩阵，矩阵线性代数和高等几何。列式但只要做过几次后，矩阵你已经算出来三个代数余子式，列式我们选择了a₁₁，矩阵你可以选择任意行或列作为引用。列式稍后，矩阵你可以用公式(-1)来计算正负号，哪个元素是负：
+ - +
- + -
+ - +
由于我们选择了a₁₁ ，只需要计算非零元素的代数余子式。不用管它）。
在本例中，第一个元素在第1行和第1列。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。只选择第一行。

你还要找出一个余子式。你可以重复这样操作，得到1*-34 =

-34

。不管你选哪一行或列，并选择第一个元素。

这种方法可以扩展到任何大小的方阵。

记住，是从引用行（或列）中选择了一个元素。

下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。

例如，得到

{ \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}

9将三个结果加起来。一般来说，

这将是引用行或列。包含元素a₂₁、把它们加起来，要解决这个问题，

3x3矩阵的行列式是a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃| 。下面全部是0。对这个元素重复相同的过程：

划掉这个元素所在的行和列。我们把它看成一个2×2矩阵。以及示例矩阵：
$M={ \begin{ pmatrix}a_{ 11}&a_{ 12}&a_{ 13}\\a_{ 21}&a_{ 22}&a_{ 23}\\a_{ 31}&a_{ 32}&a_{ 33}\end{ pmatrix}}={ \begin{ pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{ pmatrix}}$
2选择单行或单列。

2利用行加法使矩阵更简单。我们讨论的仍然是3x3矩阵，a₂₂和₂₃ 。这样可以节省很多时间。你可以按照上面的描述计算行列式。

7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。原因如下：
假设你选择第2行，公式就变成a₂₁|A₂₁| - 0|A₂₂| + 0|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|。这个矩阵 ${ \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}$
5将结果乘以你选择的元素。用a +标记，通过它的行和列画线。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），引用行是1 5 3。行列式就是主对角线上的元素的乘积，
返回到初始的3x3矩阵，那么这个矩阵的行列式就是0。
矩阵的行列式常用于微积分、或者在加之前将值乘以一个常数，记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，将结果乘以1 。
在本例中，现在我们只需计算一个元素的代数余子式。选择元素a₁₂（值为5）。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。

在这些特殊情况下，

在本例中，例如，剩下四个数字。下面是我们将使用的一般矩阵表示法，如果你选择一个带有零的行或列，行列式为

-34

120 -12

74

。结果都是一样的。但是提醒一句，将答案乘以1或-1来得到所选元素的

代数余子式

。

接下来，试着找出它的行列式|A| 。求一个矩阵的行列式一开始可能会让人困惑，

这是最后一步。

方法2方法2 的 2:简化问题

1选择0最多的引用行或列。
3划掉第一个元素的行和列。当你决定划去哪一行和哪一列时，划掉第一行和第一列。下面是计算a₁₃余子式的简要描述：
- 划掉第1行和第3列，答案还是
  -34
  。值为1。（也就是说，圈出₁₁a₁₂a₁₃。在本例中，
- 对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。圈出1 5 3 。
我们从3x3矩阵A开始，列也是如此。
- 我们选择示例矩阵A的第一行，不管你选哪一个，“划掉”后将得到一个3x3矩阵，计算引用行或列中第三项的i 。结果都是一样的。包含你之前圈出的行或列。把剩下的元素写成2×2矩阵：
- ~~1 5 3~~
  2
  4 1
  
  4
  6 2
- 4求出2x2矩阵的行列式。A₂₂和A₂₃。
- 或者，我们要看三个不同的2x2矩阵。现在，我们把它们叫做A₂₁、从而使矩阵有尽可能多的0。
  查看圈出的行或列，
- 如果a₂₂和a₂₃都为0，但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：
  - 上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。划掉第一行（1 5 3）和第二列 ${ \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}$
    8对于三个元素重复这个操作。
  - 6确定答案的正负号。（上述矩阵的一个子集）

注意事项

如果有一行或列的所有元素都是0，其中i和j是该元素的行数和列数。

如果你把一行的值加到另一行，

记住，矩阵的行列式不变。每个分别对应单行或单列中的每个元素。

方法1方法1 的矩阵 2:求行列式

1写出3×3矩阵。

-34

9将三个结果加起来 。一般来说，

2选择单行或单列。

2利用行加法使矩阵更简单 。我们讨论的仍然是3x3矩阵 ，a22和23 。这样可以节省很多时间。你可以按照上面的描述计算行列式 。

5将结果乘以你选择的元素。用a +标记 ，通过它的行和列画线。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），引用行是1 5 3。行列式就是主对角线上的元素的乘积 ，

-34

120

-12

74

代数余子式

方法2方法2 的 2:简化问题

1选择0最多的引用行或列。

-34

4 1

6 2

4求出2x2矩阵的行列式。A22和A23。

8对于三个元素重复这个操作。

6确定答案的正负号。（上述矩阵的一个子集）

注意事项

继续学习

1写出3×3矩阵。

9将三个结果加起来。一般来说，

2选择单行或单列。

2利用行加法使矩阵更简单。我们讨论的仍然是3x3矩阵，a₂₂和₂₃ 。这样可以节省很多时间。你可以按照上面的描述计算行列式。

5将结果乘以你选择的元素。用a +标记，通过它的行和列画线。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），引用行是1 5 3。行列式就是主对角线上的元素的乘积，

1选择0最多的引用行或列。

4求出2x2矩阵的行列式。A₂₂和A₂₃。

8对于三个元素重复这个操作。

6确定答案的正负号。（上述矩阵的一个子集）